Как правильно говорить, и есть ли разница между этими словами?

Мы в PLAN D привыкли разбираться во всем основательно, поэтому до появления нашей depilation point и перед выбором имени для салона, провели тщательное исследование этой темы.

Мы подняли все основные английские словари, чтобы найти правильные значения этих заимствованных слов, их происхождение, даже заручились помощью специалиста по английскому Татьяна Маркова. И вот что обнаружили.

ДЕПИЛЯЦИЯ
Слово «депиляция» возникло еще в XVI веке и обозначает ОБЩЕЕ понятие удаления волос.
Depilate — remove the hair from. Depilate — to remove the hair from (hides, skin, etc).
Например: I depilated my underarms and legs.
Приставка de- означает отделение, лишение, удаление, отсутствие и т.п., а -pilus означает волос, пух. То есть это любое удаление волос в принципе, независимо от используемых инструментов, материалов, результатов.

ЭПИЛЯЦИЯ
Слово «эпиляция» — это производное от «депиляция», появилось намного позже, в XIX веке.
Epilate — remove the hair from (the body) by pulling it from the root. Epilate — to remove (hair) from by means of physical, chemical, or radiological agents; depilate.
Например: I epilate nd exfoliate my legs and underarms in the shower.
Приставка e(х) означает из, вне, удаление, извлечение, устранение, выпадение, а -pilus означает волос, пух.

Существует также интерпретация «эпиляции» как метода именно глубокого удаления волос (с разрушением волосяной луковички): восковая, сахарная, лазерная эпиляция, электроэпиляция и др.
Это толкование вполне имеет право на жизнь хотя бы как привычное большинству.
При этом, как видим, обе приставки (и -de, и -e) означают «удаление, устранение» без лишних оттенков и уточнений как глубоко, надолго и т.п.

А для удаления станком, кремом специализированное название не предложено, поэтому они привычны под общим «депиляция».

Мы салон депиляции, потому что специализируемся на всех актуальных и экологичных видах удаления волос. Мы предоставляем услуги восковой, сахарной, лазерной (и скоро электро-) депиляции/эпиляции.

Используйте любое из этих слов-синонимов на свое усмотрение и как привыкли, это правильно!